다항함수 극한 조건

$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{f ( x )}{x ^{3}} = 0$이므로 $f ( x )$의 차수를 $n$이라 하면 $n \leq 2$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x} = 5$이고, $x \rightarrow 0$일 때 (분자)$\rightarrow 0$이므로 (분모)$\rightarrow 0$이어야 한다. 따라서, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} f ( x ) = f ( 0 ) = 0$이므로 $f ( x ) = ax ^{2} + bx$로 놓을 수 있다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x} = \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{ax ^{2} + bx}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 0} ( ax + b )$$= b$ 이므로 $b = 5$ 방정식 $ax ^{2} + 5 x = x$의 한 근이 $x = - 2$이므로 $4 a - 10 = - 2$에서$4 a = 8$ ∴ $a = 2$ 따라서, $f ( x ) = 2 x ^{2} + 5 x$이므로 $f ( 1 ) = 7$