다항함수 극한

$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - 2 g ( x )}{x ^{2}} = 1$이므로 $f ( x ) - 2 g ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) + 3 g ( x )}{x ^{3}} = 1$이므로 $f ( x ) + 3 g ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이다. $\left\{ f ( x ) + 3 g ( x ) \right\} - \left\{ f ( x ) - 2 g ( x ) \right\} = 5 g ( x )$이므로 $g ( x )$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{5}$인 삼차함수이다. ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{g ( x )}{x ^{3}} = \frac{1}{5}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) + g ( x )}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \left\{ \frac{f ( x ) + 3 g ( x )}{x ^{3}} - \frac{2 g ( x )}{x ^{3}} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) + 3 g ( x )}{x ^{3}} - 2 \times \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{g ( x )}{x ^{3}}$ $\displaystyle = 1 - \frac{2}{5}$$\displaystyle = \frac{3}{5}$