대소 조건을 만족하는 순서쌍의 개수

조건에 의하여 $a$와 $b$의 대소관계는 알 수 없으므로 $6$이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 $4$개의 수를 선택하여 작은 수부터 차례로 나열한 순서쌍이 각각 $\left( a , b , c , d \right)$이거나 $\left( b , a , c , d \right)$가 된다. 이 중에서 제일 작은 두 수인 $a$, $b$가 $a = b$인 경우는 결과가 동일하므로 하나의 경우로 보아야 한다. (ⅰ) $a = b$일 때 $6$이하의 자연수 중 중복을 허락하여 선택한 $3$개의 수를 작은 수부터 차례로 나열하여 $x$, $y$, $z$라고 하면 $\left( a , b , c , d \right)$$= ( x , x , y , z )$ 라고 둘 수 있다. 따라서 구하고자 하는 경우의 수는 ${} _{6} \mathrm{H} {} _{3} = {} _{8} \mathrm{C} {} _{3} = 56$ (ⅱ) $a \ne b$일 때 $6$이하의 자연수 중 중복을 허락하여 선택한 $4$개의 수 중 (ⅰ)의 경우를 제외하고 작은 수부터 차례로 나열하여 $x$, $y$, $z$, $u$라고 하면 $\left( a , b , c , d \right)$$= ( x , y , z , u )$ 또는 $\left( a , b , c , d \right)$$= ( y , x , z , u )$ 라고 둘 수 있다. 따라서 구하고자 하는 경우의 수는 $2 \times \left( {} _{6} \mathrm{H} {} _{4} - {} _{6} \mathrm{H} {} _{3} \right) = 2 \times \left( {} _{9} \mathrm{C} {} _{4} - {} _{8} \mathrm{C} {} _{3} \right) = 140$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하고자 하는 경우의 수는 $56 + 140 = 196$