미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

대각행렬 거듭제곱의 극한

문제

행렬A=(2003)\displaystyle A = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 0 \\ 0 3 \end{matrix} \end{array} \right)에 대하여 An=(an00bn)\displaystyle A ^{n} = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} a _{n} 0 \\ 0 b _{n} \end{matrix} \end{array} \right)이라 할 때, lim⁡n→∞3an−2bn2an+3bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{3 a _{n} - 2 b _{n}}{2 a _{n} + 3 b _{n}}의 값은? [3점] ①−32\displaystyle - \frac{3}{2}②−23\displaystyle - \frac{2}{3}③00④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

A2=(2003)(2003)=(220032)\displaystyle A ^{2} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 ^{2} & 0 \\ 0 & 3 ^{2} \end{matrix} \end{array} \right) A3=A2A=(220032)(2003)=(230033)\displaystyle A ^{3} = A ^{2} A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 ^{2} & 0 \\ 0 & 3 ^{2} \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 ^{3} & 0 \\ 0 & 3 ^{3} \end{matrix} \end{array} \right), … , An=(2n003n)\displaystyle A ^{n} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 3 ^{n} \end{matrix} \end{array} \right) 이므로 an=2n,bn=3na _{n} = 2 ^{n} , b _{n} = 3 ^{n} ∴lim⁡n→∞3an−2bn2an+3bn\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 a _{n} - 2 b _{n}}{2 a _{n} + 3 b _{n}}=lim⁡n→∞3⋅2n−2⋅3n2⋅2n+3⋅3n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \cdot 2 ^{n} - 2 \cdot 3 ^{n}}{2 \cdot 2 ^{n} + 3 \cdot 3 ^{n}} =lim⁡n→∞3⋅(23)n−22⋅(23)n+3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} - 2}{2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} + 3}=−23\displaystyle = - \frac{2}{3}

태그

#행렬의 거듭제곱#등비수열의 극한

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