미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

대각행렬 거듭제곱 극한

문제

[11~12] 행렬 A=(2004)\displaystyle {A = {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}}}에 대하여 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

두 수열 {xn}\left\{ x _{n} \right\}, {yn}\left\{ y _{n} \right\}에 대하여 (xnyn)=An(31)\displaystyle \begin{pmatrix} x _{n} \\ y _{n} \end{pmatrix} = A ^{n} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}이 성립할 때, lim⁡n→∞(xn)2yn+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( x _{n} \right) ^{2}}{y _{n} + 1}의 값은? [3점] ①66②77③88④99⑤101 0

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④

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해설

An=A ^{n} =(2n004n)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 4 ^{n} \end{pmatrix}}이므로 (xnyn)=\displaystyle {\begin{pmatrix} x _{n} \\ y _{n} \end{pmatrix}} =(2n004n)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 4 ^{n} \end{pmatrix}}(31)\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}}==(3⋅2n4n)\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 \cdot 2 ^{n} \\ 4 ^{n} \end{pmatrix}} ∴ lim⁡n→∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {}(xn)2yn+1\displaystyle \frac{\left( x _{n} \right) ^{2}}{y _{n} + 1}==lim⁡n→∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {}9⋅4n4n+1\displaystyle \frac{9 \cdot 4 ^{n}}{4 ^{n} + 1}==lim⁡n→∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {}91+14n=9\displaystyle \frac{9}{1 + \frac{1}{4 ^{n}}} = 9

태그

#행렬의 거듭제곱#수열의 극한

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