대칭이동한 두 원과 정사각형

실마리: 두 원이 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이라는 것에서 두 교점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 어디에 있는지를 먼저 밝힌다. 점 $\mathrm{C} ( 5 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점이 $\mathrm{D}$이므로 $\mathrm{D} ( 1 , 5 )$ 두 원의 반지름의 길이가 $r$로 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{DA}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = \overline{\mathrm{DB}}$ 즉, 직선 $\mathrm{AB}$는 선분 $\mathrm{CD}$의 수직이등분선이다. 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 선분 $\mathrm{CD}$의 수직이등분선은 직선 $y = x$이다. 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $y = x$ 위에 있다.

$y = x$를 $( x - 5 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = r ^{2}$에 대입하면 $( x - 5 ) ^{2} + ( x - 1 ) ^{2} = r ^{2}$ $2 x ^{2} - 12 x + 26 - r ^{2} = 0$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $x _{1} , x _{2}$라 하면 $x _{1} + x _{2} = 6$, $\displaystyle x _{1} x _{2} = \frac{26 - r ^{2}}{2}$ $( x _{1} - x _{2} ) ^{2} = 36 - 2 ( 26 - r ^{2} ) = 2 r ^{2} - 16$ $\mathrm{A} ( x _{1} , x _{1} )$, $\mathrm{B} ( x _{2} , x _{2} )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 2 ( x _{1} - x _{2} ) ^{2} = 4 r ^{2} - 32$

사각형 $\mathrm{CADB}$는 네 변의 길이가 모두 $r$인 마름모이므로 정사각형이 되려면 두 대각선의 길이가 같아야 한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} ^{2} = ( 5 - 1 ) ^{2} + ( 1 - 5 ) ^{2} = 32$이므로 $4 r ^{2} - 32 = 32$ 따라서 $r ^{2} = 16$

(확인) $r = 4$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = 4 \sqrt{2} < 2 r = 8$이므로 두 원은 서로 다른 두 점에서 만난다. 또 사각형 $\mathrm{CADB}$가 정사각형이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{DA}} = r$이고 두 변 $\mathrm{CA}$, $\mathrm{DA}$가 서로 수직이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{2} r$에서 $\displaystyle 4 \sqrt{2} = \sqrt{2} r$, 즉 $r = 4$로 같은 답을 얻는다.