좌표평면 위의 두 원
C1:(x−2)2+(y−6)2=1C2:(x−6)2+(y−4)2=9
에 대하여 원 C1 위를 움직이는 점 P, 원 C2 위를 움직이는 점 Q, y축 위를 움직이는 두 점 R, S가 있다. 두 점 R, S를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 R′, S′이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이다.) [4점]
<보 기>
ㄱ. 두 점 A(4,2), A′(4,−2)에 대하여 AR=A′R′이다.
ㄴ. 점 A(4,2)에 대하여 AR+PR′의 최솟값은 9이다.
ㄷ. 점 B(a,6a+1) (a는 양의 상수)에 대하여
(BR+PR′의 최솟값)=(BS+QS′의 최솟값)+2일 때,
OB의 값은 265이다.
①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ
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⑤
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해설
두 원 C1, C2의 중심을 각각 O1, O2라 하면 두 점 O1, O2의 좌표는 각각 O1(2,6), O2(6,4)이고 두 원 C1, C2의 반지름의 길이는 각각 1, 3이다. 두 원 C1, C2를 y축에 대하여 대칭이동한 원을 각각 C1′, C2′ 이라 하고 네 점 O1, O2, P, Q를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 O1′, O2′, P′, Q′이라 하고 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자.
ㄱ. 두 점 A(4,2), A′(4,−2)는 x축에 대하여 대칭이므로 두 선분 AR, A′R′은 x축에 대하여 대칭이다.
그러므로 AR=A′R′ (참)
ㄴ. ㄱ에 의하여 AR=A′R′
두 선분 PR′, P′R′은 y축에 대하여 대칭이므로
PR′=P′R′AR+PR′=A′R′+P′R′=(A′R′+R′P′+P′O1′)−1A′R′+R′P′+P′O1′의 값은 두 점 R′, P′이 선분 A′O1′ 위에 있을 때 최소이고 그 값은 A′O1′이다.
그러므로 AR+PR′의 최솟값은
A′O1′−1={4−(−2)}2+{(−2)−6}2−1=9 (참)
ㄷ. ㄴ과 같은 방법으로
(BR+PR′의 최솟값)=B′O1′−1(BS+QS′의 최솟값)=B′O2′−3
이므로
(BR+PR′의 최솟값)=(BS+QS′의 최솟값)+2
에서
B′O1′−1=(B′O2′−3)+2B′O1′=B′O2′
점 B′에서 두 점 O1′, O2′까지의 거리가 같으므로 점 B′은 선분 O1′O2′의 수직이등분선 위에 있다.
두 점 O1′, O2′의 좌표는 각각
O1′(−2,6), O2′(−6,4)이므로 선분 O1′O2′의 중점의 좌표는 (−4,5)
또한 직선 O1′O2′의 기울기는 −6−(−2)4−6=21이므로 선분 O1′O2′의 수직이등분선은 점 (−4,5)를 지나고 기울기가 −2인 직선이다. 그러므로 선분 O1′O2′의 수직이등분선의 방정식은 y−5=−2{x−(−4)}y=−2x−3
점 B′(a,−6a−1)이 이 직선 위의 점이므로
−6a−1=−2a−3에서 a=21
점 B의 좌표가 B(21,4)이므로
OB=(21)2+42=265 (참)
