대칭차집합 조건

[출제의도] 집합의 연산 추론하기 $\left( A \cap B ^{C} \right) \cup \left( A ^{C} \cap B \right) = \left( A - B \right) \cup ( B - A )$이고 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

$\left( A - B \right) \cup \left( B - A \right)$의 원소가 $1$, $3$, $8$이고 $n \left( A \right) = 3$, $n \left( B \right) = 2$이므로 $n \left( A \cap B \right) = 1$이어야 한다. $\therefore$ $a - 1 \in A \cap B$ $a - 1$은 $B$의 원소 중 어느 하나와 같아야 한다. (ⅰ) $a - 1 \neq a + 2$ (ⅱ) $a - 1 = a ^{2} - 4 a - 7$이고 $a + 2 = 8$일 때, $a = 6$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a = 6$