공통수학2집합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대칭차집합 최솟값 합

문제

자연수 $n$ 에 대하여 두 집합 $A _{n} = \left\{ x | n ^{2} + 3 n + 2 \leq x \leq n ^{2} + 3 n + 6 \right\} ,$ $B _{n} = \left\{ x | 2 n ^{2} + 2 \leq x \leq 2 n ^{2} + 5 \right\}$ 가 있다. 연산 $\triangle$ 을 $A _{n} \triangle B _{n} = ( A _{n} \cup B _{n} ) - ( A _{n} \cap B _{n} )$ 으로 정의하고, 집합 $A _{n} \triangle B _{n}$ 의 원소 중 최솟값을 $f ( n )$ 이라 하면 $\displaystyle \frac{1}{f ( 4 )} + \frac{1}{f ( 5 )} + \cdots + \frac{1}{f ( 9 )} = K$ 이다. 이 때, $110 K$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 집합에서 연산의 의미를 이해하고 부분분수를 적용하기 $n ^{2} + 3 n + 2 - ( 2 n ^{2} + 2 ) = 3 n - n ^{2} = n ( 3 - n )$ $n > 3$ 이면 $n ^{2} + 3 n + 2 < 2 n ^{2} + 2$ 이므로 $A _{n} \triangle B _{n}$ 의 원소의 최솟값은 $f ( n ) = n ^{2} + 3 n + 2$ $= ( n + 1 ) ( n + 2 )$ 이다. $\displaystyle \frac{1}{f ( 4 )} + \frac{1}{f ( 5 )} + \cdots + \frac{1}{f ( 9 )} = \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{10 \cdot 11}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{5} - \frac{1}{11}$ $\displaystyle = \frac{6}{55} = K$ $\therefore 110 K = 12$

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