대칭·평행이동과 수직

[출제의도] 점의 이동 및 두 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$$( - 3 , 1 )$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 점이므로 그 좌표는 $\left( 3 , 1 ) \right.$이다. 또, 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{B}$$( 1 , k )$를 $y$축의 방향으로 $- 5$만큼 평행이동한 점이므로 그 좌표는 $\left( 1 , k - 5 ) \right.$이다. 두 점 $\mathrm{B} \mathit{\left( 1 , k \right)}$, $\mathrm{P}$$\left( 3 , 1 ) \right.$에 대하여 직선 $\mathrm{BP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1 - k}{3 - 1} = \mathit{-} \frac{k - 1}{2}$ 두 점 $\mathrm{P}$$\left( 3 , 1 ) \right.$, $\mathrm{Q}$$\left( 1 , k - 5 ) \right.$에 대하여 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{( k - 5 ) - 1}{1 - 3} = \mathit{-} \frac{k - 6}{2}$ 직선 $\mathrm{BP}$와 직선 $\mathrm{PQ}$가 서로 수직이므로 $\displaystyle \left( - \frac{k - 1}{2} \right) \times \left( - \frac{k - 6}{2} \right)$$= \mathit{-} 1$ $\left( k - 1 \right) \left( k - 6 \right) = \mathit{-} 4$ $k ^{2} - 7 k + 10 = 0$ $\left( k - 2 \right) \left( k - 5 \right) = 0$ $k = 2$ 또는 $k = 5$ 따라서 모든 실수 $k$의 값의 곱은 $2 \times 5 = 10$