충분조건과 영역

[출제의도] 충분조건과 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다. $p :$ $| x - 6 | \leq a$이고 $| y - 3 | {\leq} b$ $- a {\leq} x - 6 {\leq} a$이고 $- b {\leq} y - 3 {\leq} b$ $6 - a {\leq} x {\leq} 6 + a$이고 $3 - b {\leq} y {\leq} 3 + b$

$p$가 $q$이기 위한 충분조건이려면 그림과 같이 점 $( 6 - a , 3 + b )$가 $x - 2 y + 7 \geq 0$을 만족하여야 하므로 $\left( 6 - a \right) - 2 \left( 3 + b \right) + 7 \geq 0$에서 $a + 2 b \leq 7$ …… ㉠ 점 $( 6 - a , 3 - b )$가 $2 x + y - 6 \geq 0$을 만족하여야 하므로 $2 \left( 6 - a \right) + \left( 3 - b \right) - 6 \geq 0$에서 $2 a + b \leq 9$ …… ㉡ $a$, $b$는 모두 양수이므로 ㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 부등식의 영역은 다음과 같다. (경계선 포함)

$a + b = k$라 하면 직선 $b = \mathit{-} a + k$가 직선 $a + 2 b = 7$과 직선 $2 a + b = 9$의 교점인 점 $\displaystyle \left( \frac{11}{3} , \frac{5}{3} \right)$를 지날 때 $k$가 최댓값을 갖는다. 따라서 $a + b$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{11}{3} + \frac{5}{3} = \frac{16}{3}$ $\displaystyle M = \frac{16}{3}$, $\displaystyle 30 M = 30 \times \frac{16}{3} = 160$