공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

충분조건과 절댓값

문제

실수 xx에 대한 두 조건 pp, qq가 다음과 같다. pp: x2−4x−12=0x ^{2} - 4 x - 12 = 0, qq: ∣x−3∣>k\left| x - 3 \right| > k pp가 ∼q\sim q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 kk의 최솟값은? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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③

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해설

[출제의도] 방정식과 부등식을 이용하여 충분조건에 관한 문제를 해결한다. 조건 pp의 진리집합을 PP라 하면 x2−4x−12=0x ^{2} - 4 x - 12 = 0에서 (x+2)(x−6)=0( x + 2 ) ( x - 6 ) = 0 x=−2x = \mathit{-} 2 또는 x=6x = 6 이므로 P={−2,6}P = \left\{ - 2 , 6 \right\} 조건 qq의 진리집합을 QQ라 하면 조건 qq에 대하여 ∼q:\sim q :∣x−3∣≤k\left| x - 3 \right| \leq k 이고 kk는 자연수이므로 −k≤x−3≤k- k \leq x - 3 \leq k 3−k≤x≤3+k3 - k \leq x \leq 3 + k 즉, QCQ ^{C}={x∣3−k≤x≤3+k}= \left\{ x \left| 3 - k {\leq} x {\leq} 3 + k \right\} \right. 이때 pp가 ∼q\sim q이기 위한 충분조건이 되려면 P⊂QCP \subset Q ^{C}이어야 한다.

즉, 3−k≤−23 - k \leq - 2이고 6≤3+k6 \leq 3 + k이어야 한다. k≥5k \geq 5이고 k≥3k \geq 3이므로 k≥5k \geq 5 따라서 자연수 kk의 최솟값은 55이다.

태그

#충분조건#절댓값 부등식

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