확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

축구 득점 순서 경우의 수

문제

철수는 국가 대표팀의 축구 경기를 시청하고 있었다. 그런데 우리 나라 국가 대표팀이 전반전 경기를 $1 : 0$ 으로 이기고 난 후 중간 휴식 시간에 갑자기 철수네 집이 정전이 되어 후반전 경기를 시청할 수 없었다. 다음날 친구들로부터 후반전 경기까지 마친 결과 $5 : 3$ 으로 우리 나라 국가 대표팀이 승리하였다는 사실을 알게 되었지만, 두 팀이 골을 넣은 순서는 알 수 없었다. 철수는 <표1>과 같은 표를 만들어 후반전 경기에서 두 팀이 골을 넣어 가는 상황 중 한 가지를 <표2>와 같이 적어 보았다.

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	$1$	$0$
후반전






최종 득점 결과	$5$	$3$

<표1>

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	$1$	$0$
후반전






최종 득점 결과	$5$	$3$

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	$1$	$0$
후반전	$2$	$0$
	$2$	$1$
	$2$	$2$
	$2$	$3$
	$3$	$3$
	$4$	$3$
	$5$	$3$
최종 득점 결과	$5$	$3$

<표2>

구 분	국가 대표팀	상대팀
전반전	$1$	$0$
후반전	$2$	$0$
	$2$	$1$
	$2$	$2$
	$2$	$3$
	$3$	$3$
	$4$	$3$
	$5$	$3$
최종 득점 결과	$5$	$3$

이와 같이 철수가 <표1>의 어두운 부분을 완성할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

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해설

우리나라 대표팀이 득점한 상황을 $S$ , 실점한 상황을 $F$ 라 하면 5 : 3의 상황은 5개의 $S$ 와 3개의 $F$ 로 나타난다. 이때, 철수는 1 : 0으로 우리나라 국가대표팀이 승리하는 상황까지 알고 있으므로 점수가 변해가는 상황은 일곱 개의 문자 $SSSSFFF$ 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다. ∴ $\displaystyle \frac{7 !}{4 ! 3 !} = 35$

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