공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

추출 비용 최소

문제

어느 제약회사는 마늘과 은행잎에서 천연성분을 추출하여 치료제를 만든다고 한다. 각각의 마늘 $1 \mathrm{kg}$ 과 은행잎 $1 \mathrm{kg}$ 에서 추출되는 천연성분 $A$ , $B$ 의 양과 천연성분 $A$ , $B$ 를 추출하는데 드는 비용은 표와 같다.

구분	천연성분 $A$ $\left( \mathrm{mg} \right)$	천연성분 $B$ $\left( \mathrm{mg} \right)$	추출비용 (만원)
마늘	$3$	$2$	$2$
은행잎	$1$	$3$	$1$

천연성분이 함유된 치료제 $1$ 통을 만들기 위해서는 천연성분 $A$ 가 $45 \mathrm{mg}$ 이상, 천연성분 $B$ 가 $65 \mathrm{mg}$ 이상 필요하다. 이 치료제 $1$ 통을 만들기 위해 마늘과 은행잎에서 천연성분 $A$ , $B$ 를 추출하는데 드는 최소 비용(만원)은? [4점] ① $20$ ② $25$ ③ $30$ ④ $35$ ⑤ $40$

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④

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기 마늘과 은행잎을 각각 $x \left( \mathrm{kg} \right)$ , $y \left( \mathrm{kg} \right)$ 이라 하면, $x \geq 0$ , $y \geq 0$ $3 x + y \geq 45$ , $2 x + 3 y \geq 65$ 가 나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

$2 x + y = k$ $\left( 10 , 15 \right)$ $3 x + y = 45$ $2 x + 3 y = 65$

추출하는데 드는 비용을 $k$ $($ 만원 $)$ 라 하면 $2 x + y = k$ 이고 $k$ 의 값이 최소인 경우는 두 직선 $3 x + y = 45$ , $2 x + 3 y = 65$ 의 교점 $\left( 10 , 15 \right)$ 를 지날 때이다. 따라서 최소 비용은 $35$ (만원)

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