초콜릿 나누기

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가? 네 명의 학생 $A , B , C , D$가 받는 초콜릿의 개수를 각각 $a , b , c , d$라 하면 $a + b + c + d = 8$ 이때, 조건 (가)에 의하여 네 명의 학생이 각각 적어도 1개의 초콜릿을 받으므로 $a , b , c , d$는 자연수이다. 이때, $a = a' + 1 , b = b' + 1 , c = c' + 1 , d = d' + 1$ 이라 하면 $a' + b' + c' + d' = 4$ ( $a' , b' , c' , d'$은 음이 아닌 정수) 조건 (나)에 의하여 $a' > b'$이어야 하므로 (ⅰ) $b' = 0$일 때 $a' = 1$인 경우 $c' + d' = 3$이므로 경우의 수는 ${} _{2} H _{3} = _{4} C _{3} = 4$ $a' = 2$인 경우 $c' + d' = 2$이므로 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} = _{3} C _{2} = 3$ $a' = 3$인 경우 $c' + d' = 1$이므로 경우의 수는 ${} _{2} H _{1} = _{2} C _{1} = 2$ $a' = 4$인 경우 $c' + d' = 0$이므로 경우의 수는 1 (ⅱ) $b' = 1$일 때 $a' = 2$인 경우 $c' + d' = 1$이므로 경우의 수는 ${} _{2} H _{1} = _{2} C _{1} = 2$ $a' = 3$인 경우 $c' + d' = 0$이므로 경우의 수는 1 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 경우의 수는 $10 + 3 = 13$