최소공배수 활용

[출제의도] 최소공배수의 뜻을 이해하고 소인수분해를 이용하여 최소공배수를 구한다. 과자의 무게의 합은 $75$의 배수이고, 음료수의 무게의 합은 $120$의 배수이다. 두 무게의 합이 같으려면 과자의 무게의 합과 음료수의 무게의 합이 $75$와 $120$의 공배수이어야 한다. 두 수 $75$, $120$을 소인수분해하면 $75 = 3 \times 5 ^{2}$ $120 = 2 ^{3} \times 3 \times 5$ 따라서 두 수 $75$, $120$의 최소공배수는 $2 ^{3} \times 3 \times 5 ^{2}$ 과자의 무게의 합과 음료수의 무게의 합이 $75$와 $120$의 최소공배수가 될 때 $a$와 $b$의 값이 각각 최소이므로 $a + b$의 값도 최소가 된다. 따라서 과자 $a$개의 무게가 $2 ^{3} \times 3 \times 5 ^{2}$일 때 $a$의 값을 구하면 $3 \times 5 ^{2} \times a = 2 ^{3} \times 3 \times 5 ^{2}$ $a = 2 ^{3} = 8$ 음료수 $b$개의 무게가 $2 ^{3} \times 3 \times 5 ^{2}$일 때 $b$의 값을 구하면 $2 ^{3} \times 3 \times 5 \times b = 2 ^{3} \times 3 \times 5 ^{2}$ $b = 5$ 따라서 구하는 최솟값은 $a + b$$= 8 + 5$$= 13$