공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

최대공약수와 분수부등식

문제

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차식 $f ( x )$ , $g ( x )$ 의 최대공약수가 $x + 3$ , 최소공배수가 $x ( x + 3 ) ( x - 4 )$ 일 때, 분수부등식 $\displaystyle \frac{1}{f ( x )} + \frac{1}{g ( x )} \leq 0$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수는? [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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④

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해설

$f ( x ) = A ( x + 3 )$ , $g ( x ) = B ( x + 3 )$ ( $A , B$ 는 서로소인 두 일차식)으로 놓으면 $L = AB ( x + 3 ) = x ( x + 3 ) ( x - 4 )$ 에서 $A = x , B = x - 4$ 또는 $A = x - 4 , B = x$ $\displaystyle \frac{1}{f ( x )} + \frac{1}{g ( x )} \leq 0$ ⇔ $\displaystyle \frac{B + A}{L} \leq 0$ ⇔ $\displaystyle \frac{x + x - 4}{x ( x + 3 ) ( x - 4 )} \leq 0$ ⇔ $2 ( x - 2 ) x ( x + 3 ) ( x - 4 ) \leq 0$ , $x \ne - 3 , x \ne 0 , x \ne 4$ ⇔ $- 3 < x < 0 , 2 \leq x < 4$ 따라서, 정수 $x$ 는 $- 2 , - 1 , 2 , 3$ 의 $4$ 개이다.

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