미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

철근 조형물 수열 극한

문제

[그림 11]은 길이가 1m1 \mathrm{m}인 철근 44개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다. [그림 22]는 길이가 1m1 \mathrm{m}인 철근 1313개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.

이와 같이 길이가 1m1 \mathrm{m}인 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 nn번째 조형물에 사용된 1m1 \mathrm{m}인 모든 철근의 수를 ana _{n}, 용접한 모든 지점의 수를 bnb _{n}이라 하자. 예를 들어, a2=13,b2=10a _{2} = 13 , b _{2} = 10이다. 이때, lim⁡n→∞a2n+b2nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{2n} + b _{2n}}{a _{n}}의 값을 구하시오. [4점]

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6

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해설

[출제의도] 수열의 규칙성을 파악하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. {an}:4,13,26,43⋯\left\{ a _{n} \right\} : 4 , 13 , 26 , 43 \cdots {bn}:4,10,18,28,⋯\left\{ b _{n} \right\} : 4 , 10 , 18 , 28 , \cdots 이므로 an=2n2+3n−1a _{n} = 2 n ^{2} + 3 n - 1, bn=n2+3nb _{n} = n ^{2} + 3 n이다. ∴lim⁡n→∞a2n+b2nan=lim⁡n→∞12n2+12n−12n2+3n−1=6\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n} + b _{2 n}}{a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{12 n ^{2} + 12 n - 1}{2 n ^{2} + 3 n - 1} = 6}}

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