체험 활동 신청 최댓값

[출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 집합의 원소의 개수를 구한다. 이 학교 학생 전체의 집합을 $U$, 두 체험 활동 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 신청한 학생의 집합을 각각 $A$, $B$라 하면 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생의 집합은 $A ^{C} \cap B ^{C}$이고, 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생의 집합은 $A \cup B$이다. $n ( U ) = 200$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $n ( A ) = n ( B ) + 20$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $n ( A ^{C} \cap B ^{C} ) = n ( A \cup B ) - 100$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ $A ^{C} \cap B ^{C} = \left( A \cup B \right) ^{C}$이므로 $n ( A ^{C} \cap B ^{C} ) = n ( U ) - n ( A \cup B )$ ㉠, ㉢ 에서 $\displaystyle n ( A \cup B ) = \frac{1}{2} \left\{ n ( U ) + 100 \right\}$$= 150$ $n ( A \cup B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A \cap B )$ 이므로 ㉡ 에서 $2 \times n ( A ) - 20 - n ( A \cap B ) = 150$ $\displaystyle n ( A ) = \frac{1}{2} \left\{ n ( A \cap B ) + 170 \right\}$ 한편, 체험 활동 $\mathrm{A}$만 신청한 학생의 집합은 $A - B$이므로 $n ( A - B )$$= n ( A ) - n ( A \cap B )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ 170 - n ( A \cap B ) \right\}$ 이때 $0 \leq n ( A \cap B ) \leq n ( B )$이므로 $\displaystyle n ( A - B ) \leq \frac{170 - 0}{2} = 85$ 따라서 체험 활동 $\mathrm{A}$만 신청한 학생 수의 최댓값은 $85$이다.