참석자 표본비율 확률

받은 사람 $100$명 중 참석자의 비율을 $2$라고 하면 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} ( 0.43 \leq \hat{p} \leq 0.56 )$이다. 모비율은 $p = 0.5$이고 $nq = 50 , np = 50$은 모두 $5$보다 크므로 $\displaystyle Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}} = \frac{\hat{p} - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{100}}} = \frac{\hat{p} - 0.5}{0.05}$는 표준정규분포 $\mathrm{N} ( 0 , 1 )$에 가까워진다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0.43 \leq \hat{p} \leq 0.56 ) = {\mathrm{P}} ( \frac{0.43 - 0.5}{0.05} \leq Z \leq \frac{0.56 - 0.5}{0.05} )$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( - \frac{0.07}{0.05} \right. Z \leq \frac{0.06}{0.05} )$$= {\mathrm{P}} ( - 1.4 \leq Z \leq 1.2 )$ $= {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.2 ) + {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.4 )$ $= 0.3849 + 0.4192$$= 0.8041$