공통수학2집합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

변환한 집합 원소 합

문제

실수 전체의 집합 UU의 두 부분집합 AA, BB에 대하여 n(A)=5,n ( A ) = 5 , B={x+a2∣x∈A}\displaystyle \left. \left. B = \left\{ \frac{x + a}{2} \right| x \in A \right\} \right. 이다. 두 집합 AA, BB가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

(가) 집합 AA의 모든 원소의 합은 2828이다. (나) 집합 A∪BA \cup B의 모든 원소의 합은 4949이다. (다) A∩B={10,13}A \cap B = \left\{ 10 , 13 \right\}

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해설

[출제의도] 집합의 성질 이해하기 집합 A={x1,x2,x3,x4,x5}A = \left\{ x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} , x _{5} \right\}라 하면 x1+x2+x3+x4+x5=28x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} + x _{5} = 28이다. 집합 B={x1+a2,x2+a2,x3+a2,x4+a2,x5+a2}\displaystyle B = \left\{ \frac{x _{1} + a}{2} , \frac{x _{2} + a}{2} , \frac{x _{3} + a}{2} , \frac{x _{4} + a}{2} , \frac{x _{5} + a}{2} \right\} 이므로 집합 BB의 모든 원소의 합은 12(x1+x2+x3+x4+x5)+52a\displaystyle \frac{1}{2} \left( x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} + x _{5} \right) + \frac{5}{2} a=12×28+52a\displaystyle = \frac{1}{2} \times 28 + \frac{5}{2} a=14+52a\displaystyle = 14 + \frac{5}{2} a 이다. 집합 A∪BA \cup B의 모든 원소의 합은 집합 AA의 모든 원소의 합과 집합 BB의 모든 원소의 합에서 집합 A∩BA \cap B의 모든 원소의 합을 뺀 것과 같다. 따라서 49=28+(14+52a)−(10+13)\displaystyle 49 = 28 + \left( 14 + \frac{5}{2} a \right) - ( 10 + 13 ) 52a=30\displaystyle \frac{5}{2} a = 30이다. ∴a=12\therefore a = 12

태그

#집합의 연산#원소의 합

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