확률과 통계조건부확률수능 기출기본 문제 (3점 중반)

병뚜껑 경품 확률

문제

어떤 음료 회사는 사은행사로 음료수를 구입할 때 경품을 주기로 하고, ‘컵 $1$ 개’, ‘컵 $2$ 개’, ‘다음 기회에’ 중 하나의 문구를 병뚜껑의 안쪽에 써 넣었다. 이 때, ‘컵 $1$ 개’가 나올 확률은 $\displaystyle \frac{p}{10}$ , ‘컵 $2$ 개’가 나올 확률은 $\displaystyle \frac{p}{100}$ , ‘다음 기회에’가 나올 확률은 $p$ 이다. 이와 같은 행사에서 음료수 $3$ 병을 구입하였을 때, 경품으로 $3$ 개의 컵을 받을 확률은? (단, ‘다음 기회에’는 경품이 없음을 뜻한다.) [3점] ① $\displaystyle \frac{3}{1000} p ^{3}$ ② $\displaystyle \frac{7}{1000} p ^{3}$ ③ $\displaystyle \frac{9}{1000} p ^{3}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{1000} p ^{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{13}{1000} p ^{3}$

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②

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해설

컵이 $1$ 개, $2$ 개, $0$ 개인 개수를 각각 $x , y , z$ 로 두면 $1 \times x + 2 \times y + 0 \times z = 3$ 이다. $x , y , z$ 는 $0$ 이상인 정수이므로 (i) $( x , y , z ) = ( 3 , 0 , 0 )$ 일 때, $\displaystyle {}_{3} \mathrm{C} \mathit{_{3}} \left( \frac{p}{10} \right) ^{3} = \frac{p ^{3}}{1000}$ (ii) $( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 1 )$ 일 때 $\displaystyle {}_{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \left( \frac{p}{10} \right) ^{1} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \left( \frac{p}{100} \right) ^{1} \times _{1} \mathrm{C} \mathit{_{1}} p ^{1} = \frac{6}{1000} p ^{3}$ 따라서 $\displaystyle \left( \frac{1}{1000} + \frac{6}{1000} \right) p ^{3} = \frac{7}{1000} p ^{3}$

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