미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

분수꼴 수열의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 f(n)=12+22+32+⋯+n23+5+7+⋯+(2n+1)\displaystyle f ( n ) = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + n ^{2}}{3 + 5 + 7 + \cdots + ( 2 n + 1 )}일 때, lim⁡n→∞f(n)n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{f ( n )}{n}}의 값은? [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③512\displaystyle \frac{5}{12}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤712\displaystyle \frac{7}{12}

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②

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기 f(n)=n(n+1)(2n+1)6n2+2n=2n2+3n+16n+12\displaystyle f ( n ) = \frac{\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}}{n ^{2} + 2 n} = \frac{2 n ^{2} + 3 n + 1}{6 n + 12} 따라서 lim⁡n→∞f(n)n=lim⁡n→∞2n2+3n+16n2+12n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{f ( n )}{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + 3 n + 1}{6 n ^{2} + 12 n}}=13\displaystyle = \frac{1}{3}

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