분수부등식과 연립부등식

[출제의도] 분수부등식과 고차부등식의 연립부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3} \geq 0$ 에서 좌변을 통분하여 정리하면 $( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) \geq 0 , x \ne 1 , x \ne 3$ ∴ $1 < x \leq 2$ 또는 $x > 3$ $\cdots$ ㉠ $( x - a ) ( x ^{2} - x + 1 ) < 0$ 에서 항상 $x ^{2} - x + 1 > 0$이므로 $( x - a ) ( x ^{2} - x + 1 ) < 0 \leftrightarrow ( x - a ) < 0$ $\cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡의 공통범위에서 조건을 만족하는 $a$의 범위를 구하면 $5 < a \leq 6$이므로 최댓값은 $6$이다.