분수부등식 집합

[출제의도] 분수부등식이 특정 해를 가질 조건을 구한다. $\displaystyle \frac{x - 2 n}{( x - n ) ( x - 3 n )} \leq 0$ ⇔$( x - n ) ( x - 2 n ) ( x - 3 n ) \leq 0$ (단, $x \ne n , x \ne 3 n$) 따라서 주어진 분수부등식의 해는 $x < n$ 또는 $2 n \leq x < 3 n$ 그런데 $120 \in A$이므로 $120 < n$ 또는 $2 n \leq 120 < 3 n$ 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $41$이다. [다른 풀이] $x = 120$을 $\displaystyle \frac{x - 2 n}{( x - n ) ( x - 3 n )} \leq 0$에 대입하면 $\displaystyle \frac{120 - 2 n}{( 120 - n ) ( 120 - 3 n )} \leq 0$ $\displaystyle \frac{n - 60}{( n - 120 ) ( n - 40 )} \geq 0$ ⇔ $( n - 40 ) ( n - 60 ) ( n - 120 ) \geq 0$ (단, $n \ne 40 , n \ne 120$) $40 < n \leq 60$ 또는 $n > 120$ 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $41$이다.