분수방정식 한 실근

[출제의도] 분수방정식 이해하기 $\displaystyle \frac{a ^{2} + 1}{( x - 2 ) ( x + 1 )} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$의 양변에 분모의 최소공배수 $2 ( x - 2 ) ( x + 1 )$을 곱하면 $2 ( a ^{2} + 1 ) + 2 ( x - 2 ) = ( x - 2 ) ( x + 1 )$ $x ^{2} - 3 x - 2 a ^{2} = 0$ 판별식 $D = 9 + 8 a ^{2} > 0$이므로 이 이차방정식은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다. 따라서 주어진 분수방정식이 오직 하나의 실근을 가지려면 두 근 중 한 근이 무연근이 되어야 한다. ⅰ) 무연근이 $2$인 경우 $a ^{2} = - 1$이므로 조건을 만족시키는 실수 $a$는 존재하지 않는다. ⅱ) 무연근이 $- 1$인 경우 $a ^{2} = 2$ $\displaystyle \therefore a = \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle a = - \sqrt{2}$ 이때, 실근 $x = 4$이다. 따라서 문제의 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle \sqrt{2} \times \left( - \sqrt{2} \right) = - 2$