분수 배열 수열 극한

$n$행에 있는 유리수들은 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{n}}$, $\displaystyle \frac{3}{2 ^{n}}$, $\displaystyle \frac{5}{2 ^{n}}$, $\cdots$, $\displaystyle \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{n}}$ 이고, 분자를 나열한 수열이 첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열이므로 $n$행의 총 항수를 $k$라 하면 $2 k - 1 = 2 ^{n} - 1$에서 $k = 2 ^{n - 1}$이다. ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{n}}$ ∴ $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{2 ^{n}} \times \frac{2 ^{n - 1} \left\{ 1 + ( 2 ^{n} - 1 ) \right\}}{2}$$\displaystyle = \frac{2 ^{n}}{4}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{( 2 ^{n} + 1 ) a _{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{2 ^{n}}{4}}{( 2 ^{n} + 1 ) \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{n} \times 2 ^{n}}{4 ( 2 ^{n} + 1 ) ( 2 ^{n} - 1 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 ^{n}}{4 ( 4 ^{n} - 1 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{4 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{4} \right) ^{n} \right\}} = \frac{1}{4}$