분할의 수

[출제의도] 자연수의 분할의 수와 집합의 분할의 수를 구한다. $5 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2$이므로 $P \left( 5 , 3 \right) = 2$이다. 한편, 원소의 개수가 $5$인 집합을 공집합이 아닌 서로 다른 $3$개의 부분집합으로 분할할 때, 부분집합의 원소의 개수는 각각 $1$, $1$, $3$ 또는 $1$, $2$, $2$이다. (ⅰ) 부분집합의 원소의 개수가 각각 $1$, $1$, $3$인 경우 $5$개의 원소 중 $3$개를 선택하여 원소의 개수가 $3$인 부분집합을 만들고, 나머지 $2$개의 원소로 각각 원소의 개수가 $1$인 부분집합을 만들면 되므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} = _{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ (ⅱ) 부분집합의 원소의 개수가 각각 $1$, $2$, $2$인 경우 $5$개의 원소 중 $1$개를 선택하여 원소의 개수가 $1$인 부분집합을 만들고, 나머지 $4$개의 원소 중 $2$개의 원소를 선택하여 원소의 개수가 $2$인 부분집합을 만들면 나머지 $2$개의 원소로 이루어진 부분집합이 정해진다. 이때 각 경우가 $2$가지씩 중복되므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times \frac{1}{2}$$\displaystyle = 5 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 \times \frac{1}{2}$$= 15$ 위의 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $S \left( 5 , 3 \right) = 10 + 15 = 25$ 따라서 $P \left( 5 , 3 \right) + S \left( 5 , 3 \right)$$= 2 + 25$$= 27$