불량품 조건부확률

제품이 세 공장 $A$, $B$, $C$에서 생산되는 제품일 사건을 각각 $A$, $B$, $C$라 하고 제품이 불량일 사건을 $E$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A ) = \frac{3}{10}$, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B ) = \frac{2}{10}$, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( C ) = \frac{5}{10}$이고 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( E | A ) = \frac{2}{100}$, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( E | B ) = \frac{4}{100}$, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( E | C ) = \frac{a}{100}$이다. ∴ ${\mathrm{P}} ( C | E )$ $\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} ( C \cap E )}{{\mathrm{P}} ( E )}$ $\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} ( C \cap E )}{{\mathrm{P}} ( A \cap E ) + {\mathrm{P}} ( B \cap E ) + {\mathrm{P}} ( C \cap E )}$ $\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} ( C ) {\mathrm{P}} ( E | C )}{{\mathrm{P}} ( A ) {\mathrm{P}} ( E | A ) + {\mathrm{P}} ( B ) {\mathrm{P}} ( E | B ) + {\mathrm{P}} ( C ) {\mathrm{P}} ( E | C )}$ $\displaystyle = \frac{\frac{5}{10} \cdot \frac{a}{100}}{\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{100} + \frac{2}{10} \cdot \frac{4}{100} + \frac{5}{10} \cdot \frac{a}{100}}$ $\displaystyle = \frac{5 a}{14 + 5 a}$ 따라서 $\displaystyle \frac{5 a}{14 + 5 a} = \frac{15}{29}$에서 $a = 3$이다.