부등식의 영역 활용

[출제의도] 부등식의 영역에서의 최대 · 최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 어느 상점에서 두 향수 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 한 달 동안 판매되는 향수병의 개수를 각각 $x$, $y$라 하자. 향수 $\mathrm{A}$를 $1$병 생산하는데 필요한 원료의 양은 원료 $\mathrm{P}$가 $50$, 원료 $\mathrm{Q}$가 $100$이고 향수 $\mathrm{B}$를 $1$병 생산하는데 필요한 원료의 양은 원료 $\mathrm{P}$가 $100$, 원료 $\mathrm{Q}$가 $50$이므로 향수 $\mathrm{A}$와 향수 $\mathrm{B}$를 각각 $1$병씩 생산하는데 필요한 원료의 구입 비용은 각각 $0.5 \times 1 + 1 \times 2 = 2.5$(만 원), $1 \times 1 + 0.5 \times 2 = 2$(만 원)이다. 따라서 향수 $\mathrm{A}$와 향수 $\mathrm{B}$를 생산하기 위하여 한 달 동안 구입하게 되는 두 원료 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$의 구입 비용의 합은 $2.5 x + 2 y$만 원이다. 한 달에 생산할 수 있는 두 향수 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 병의 개수의 합이 최대 $50$이고, 한 달에 사용할 수 있는 두 원료 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 총 구입비용이 최대 $110$만 원이므로 다음 식이 성립한다. $x \geq 0 , y \geq 0 \cdots \cdots \text{㉠}$ $x + y \leq 50 \cdots \cdots \text{㉡}$ $2.5 x + 2 y \leq 110 \cdots \cdots \text{㉢}$ ㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족시키는 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 색칠된 사각형과 그 내부가 된다.

연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} x + y = 50 \\ 2.5 x + 2 y = 110 \end{cases}$ 의 해는 $x = 20$, $y = 30$이므로 제$1$사분면의 사각형의 꼭짓점의 좌표는 $( 20 , 30 )$이다. 한편 향수 $\mathrm{A}$의 판매 가격이 $a$만 원이고, 향수 $\mathrm{B}$의 판매 가격이 $\displaystyle \frac{9}{10} a$만 원이므로 두 향수 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 한 달 동안 판매한 금액의 합은 $\displaystyle a x + \frac{9}{10} a y$만 원이다. $\displaystyle ax + \frac{9}{10} ay$$= k$($k$는 상수)로 놓으면 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{10}{9} x + \frac{10 k}{9 a}$는 기울기가 $\displaystyle - \frac{10}{9}$이고 $y$절편이 $\displaystyle \frac{10 k}{9 a}$인 직선이므로 직선 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{10}{9} x + \frac{10 k}{9 a}$의 $y$절편 $\displaystyle \frac{10 k}{9 a}$는 두 직선 $x + y = 50$과 $2.5 x + 2 y = 110$의 교점 $\left( 20 , 30 \right)$을 지날 때 최대가 된다. 따라서 이 상점에서 두 향수 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 한 달 동안 판매한 금액의 합의 최댓값은 $\displaystyle a \times 20 + \frac{9}{10} a \times 30 = 47 a$(만 원)이므로 $47 a = 376$ $a = 8$(만 원)