부등식의 영역 활용

[출제의도] 부등식의 영역의 최대 · 최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 두 메뉴 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 각각 $x$인분, $y$인분 만든다고 하면 $x \geq 0$, $y \geq 0$ …… ㉠ 하루에 최대 $35$인분을 만들 수 있으므로 $x + y \leq 35$ …… ㉡ 재료 $\mathrm{S}$의 가격은 $10 \mathrm{g}$당 $600$원이므로 두 메뉴 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ $1$인분을 만들기 위한 재료 $\mathrm{S}$의 구입 비용은 각각 $6000$원, $3000$원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 $\mathrm{S}$의 구입 비용은 $6000 x + 3000 y$(원)이다. 재료 $\mathrm{T}$의 가격은 $10 \mathrm{g}$당 $400$원이므로 두 메뉴 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ $1$인분을 만들기 위한 재료 $\mathrm{T}$의 구입 비용은 각각 $2000$원, $6000$원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 $\mathrm{T}$의 구입 비용은 $2000 x + 6000 y$(원)이다. 하루에 사용할 수 있는 두 재료 $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$의 구입 비용은 최대 $30$만 원이므로 $( 6000 x + 3000 y ) + ( 2000 x + 6000 y ) \leq 300000$ $8000 x + 9000 y \leq 300000$ $8 x + 9 y \leq 300$ …… ㉢ 좌표평면 위에 세 부등식 ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 영역을 나타내면 그림과 같이 두 직선 $x + y = 35$, $8 x + 9 y = 300$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분이다.

한편, 하루 동안 두 메뉴 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 각각 $x$인분, $y$인분 판매하여 얻을 수 있는 판매 금액은 $20000 x + 22000 y$(원)이므로 $20000 x + 22000 y = k$($k$는 양의 실수)라 하면 $\displaystyle 10 x + 11 y = \frac{k}{2000}$ …… ㉣ 이때 두 직선 $x + y = 35$, $8 x + 9 y = 300$과 직선 ㉣ 의 기울기의 관계가 $\displaystyle - 1 < \mathit{-} \frac{10}{11} < \mathit{-} \frac{8}{9}$ 이므로 직선 ㉣이 두 직선 $x + y = 35$, $8 x + 9 y = 300$이 만나는 점을 지날 때 $k$의 값은 최대이다. 두 직선 $x + y = 35$, $8 x + 9 y = 300$의 교점은 $( 15 , 20 )$이고 따라서 식당에서 두 메뉴 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 판매하여 얻을 수 있는 하루 최대 판매 금액은 $20000 \times 15 + 22000 \times 20 = 740000$(원)이다.