부등식의 영역 최대

연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} y \geq x \\ y \leq - x ^{2} + 5 x \end{cases}}$를 만족시키는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림의 어두운 부분과 같다.

$y = \mathit{-} x ^{2} + 5 x$ $y = 3 x - k$

이차함수 $y = \mathit{-} x ^{2} + 5 x$의 그래프와 직선 $y = x$의 교점은 $\left( 0 , 0 \right)$과 $\left( 4 , 4 \right)$이다. $3 x - y = k$라 하면 직선 $y = 3 x - k$는 기울기가 $3$이고 $y$절편이 $- k$이다. 이 직선을 주어진 부등식의 영역과 만나도록 평행이동하면서 $k$의 값의 변화를 조사하면 직선 $y = 3 x - k$가 점 $\left( 4 , 4 \right)$를 지날 때 $k$는 최댓값을 갖는다. $4 = 3 \times 4 - k$에서 $k = 8$ 따라서 $3 x - y$의 최댓값은 $8$