부등식의 대소 관계

[출제의도] 실수의 대소 관계를 추론하기 $a > b$, $c > d$이므로 $a - b > 0$, $c - d > 0$이다. ㄱ. $\left( ac + bd \right) - \left( bc + ad \right) = \left( a - b \right) \left( c - d \right) > 0$ 이므로 $ac + bd > bc + ad$이다. (참) ㄴ. (반례) $a = 1$, $b = - 2$, $c = 1$, $d = - 1$이면 $ac = 1$, $bd = 2$이므로 $ac < bd$이다. (거짓) ㄷ. $\displaystyle \sqrt{a - b} + \sqrt{c - d} > \sqrt{a + c - b - d}$의 양변을 제곱하여 좌변에서 우변을 빼면 $\displaystyle \left( \sqrt{a - b} + \sqrt{c - d} \right) ^{2} - \left( \sqrt{a + c - b - d} \right) ^{2}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{a - b} \sqrt{c - d}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{\left( a - b \right) \left( c - d \right)} > 0$이므로 $\displaystyle \sqrt{a - b} + \sqrt{c - d} > \sqrt{a + c - b - d}$이다. (참) 따라서 대소 관계가 항상 성립하는 것은 ㄱ, ㄷ