미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식과 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 2n+3<an<2n+42 n + 3 < a _{n} < 2 n + 4 를 만족시킬 때, lim⁡n→∞(an+1)2+6n2nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( a _{n} + 1 \right) ^{2} + 6 n ^{2}}{na _{n}}의 값은? [3점] ①1\mathrm{1}②2\mathrm{2}③3\mathrm{3}④4\mathrm{4}⑤5\mathrm{5}

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⑤

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해설

2n+3<an<2n+42 n + 3 < a _{n} < 2 n + 4에서 2n+3n<ann<2n+4n\displaystyle \frac{2 n + 3}{n} < \frac{a _{n}}{n} < \frac{2 n + 4}{n} lim⁡n→∞2n+3n=lim⁡n→∞2+3n1=21=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n + 3}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 + \frac{3}{n}}{1} = \frac{2}{1} = 2 lim⁡n→∞2n+4n=lim⁡n→∞2+4n1=21=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n + 4}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 + \frac{4}{n}}{1} = \frac{2}{1} = 2 수열의 극한의 대소관계에 의하여 lim⁡n→∞ann=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = 2 lim⁡n→∞(an+1)2+6n2nan=lim⁡n→∞(ann+1n)2+6ann=22+62=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( a _{n} + 1 \right) ^{2} + 6 n ^{2}}{na _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( \frac{a _{n}}{n} + \frac{1}{n} \right) ^{2} + 6}{\frac{a _{n}}{n}} = \frac{2 ^{2} + 6}{2} = 5

태그

#수열의 극한의 대소관계

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