부등식과 수열 극한

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} - 1} < ( n + 2 ) a _{n} < \sqrt{9 n ^{2} + 4 n}$에서 $\displaystyle \frac{\sqrt{9 n ^{2} - 1}}{n + 2} < a _{n} < \frac{\sqrt{9 n ^{2} + 4 n}}{n + 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 n ^{2} - 1}}{n + 2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 n ^{2} + 4 n}}{n + 2} = 3$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 3$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} ^{3} = 3 ^{3} = 27$