미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식과 수열 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 부등식 9n2+4<nan<3n+2\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} + 4} < \sqrt{na _{n}} < 3 n + 2 를 만족시킬 때, lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n}의 값은? [3점] ①66②77③88④99⑤1010

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④

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해설

문제에 주어진 식의 양변을 제곱하고 n2n ^{2}으로 나누면 9n2+4n2<ann<9n2+12n+4n2\displaystyle \frac{9 n ^{2} + 4}{n ^{2}} < \frac{a _{n}}{n} < \frac{9 n ^{2} + 12 n + 4}{n ^{2}}이 된다. 그러므로 lim⁡n→∞9n2+4n2≤lim⁡n→∞ann≤lim⁡n→∞9n2+12n+4n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{9 n ^{2} + 4}{n ^{2}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{9 n ^{2} + 12 n + 4}{n ^{2}} 9≤lim⁡n→∞ann≤9\displaystyle 9 \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} \leq 9 ∴lim⁡n→∞ann=9\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n} = 9}

태그

#수열의 극한#대소 관계

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