미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식과 합의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 2n2−3<an<2n2+42 n ^{2} - 3 < a _{n} < 2 n ^{2} + 4 를 만족시킨다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Snn3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n ^{3}}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③56\displaystyle \frac{5}{6}④11⑤76\displaystyle \frac{7}{6}

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해한다. 2n2−3<an<2n2+42 n ^{2} - 3 < a _{n} < 2 n ^{2} + 4에서 ∑k=1n(2k2−3)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 2 k ^{2} - 3 \right)<Sn<∑k=1n(2k2+4)\displaystyle < S _{n} < \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 2 k ^{2} + 4 \right) 이때 ∑k=1n(2k2−3)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 2 k ^{2} - 3 \right)=2×n(n+1)(2n+1)6−3n\displaystyle = 2 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 3 n =n(2n2+3n−8)3\displaystyle = \frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n - 8 \right)}{3} ∑k=1n(2k2+4)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 2 k ^{2} + 4 \right)=2×n(n+1)(2n+1)6+4n\displaystyle = 2 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + 4 n =n(2n2+3n+13)3\displaystyle = \frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n + 13 \right)}{3} n(2n2+3n−8)3n3\displaystyle \frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n - 8 \right)}{3 n ^{3}}<Snn3\displaystyle < \frac{S _{n}}{n ^{3}}<n(2n2+3n+13)3n3\displaystyle < \frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n + 13 \right)}{3 n ^{3}} lim⁡n→∞n(2n2+3n−8)3n3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n - 8 \right)}{3 n ^{3}}}=lim⁡n→∞n(2n2+3n+13)3n3=23\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n \left( 2 n ^{2} + 3 n + 13 \right)}{3 n ^{3}}} = \frac{2}{3} 이므로 lim⁡n→∞Snn3=23\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{n ^{3}} = \frac{2}{3}

태그

#수열의 극한의 대소 관계#시그마

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