미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부등식과 극한 대소

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 an2<4nan+n−4n2a _{n} \mathit{^{2}} < 4 na _{n} + n - 4 n ^{2} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an+3n2n+4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} + 3 n}{2 n + 4}}의 값은? [3점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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①

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해하여 수열의 극한값을 구한다. an2<4nan+n−4n2a _{n} \mathit{^{2}} < 4 na _{n} + n - 4 n ^{2}에서 an2−4nan+4n2<na _{n} \mathit{^{2}} - 4 na _{n} + 4 n ^{2} < n, (an−2n)2<n\left( a _{n} - 2 n \right) ^{2} < n, 2n−n<an<2n+n\displaystyle 2 n - \sqrt{n} < a _{n} < 2 n + \sqrt{n}, 2−1n<ann<2+1n\displaystyle 2 - \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{a _{n}}{n} < 2 + \frac{1}{\sqrt{n}} lim⁡n→∞(2−1n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}=lim⁡n→∞(2+1n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}=2= 2이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n}}=2= 2 따라서 lim⁡n→∞an+3n2n+4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} + 3 n}{2 n + 4}}=lim⁡n→∞ann+32+4n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a _{n}}{n} + 3}{2 + \frac{4}{n}}}=2+32+0\displaystyle = \frac{2 + 3}{2 + 0}=52\displaystyle = \frac{5}{2}

태그

#수열의 극한#극한의 대소 관계

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