부등식으로 극한 구하기 과정

수열 $\left\{ S _{n} \right\}$에 대하여 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \sqrt{1 + \frac{k}{n ^{2}}} - 1 \right)$일 때, 다음은 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$의 값을 구하는 과정이다. 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \frac{x}{2 + x} < \sqrt{1 + x} - 1 < \frac{x}{2}$가 성립한다. 자연수 $k , n$ ($k \leq n$)에 대하여 $\displaystyle x = \frac{k}{n ^{2}}$를 위 부등식에 대입하여 정리하면 $\displaystyle \frac{k}{2 n ^{2} + k} < \sqrt{1 + \frac{k}{n ^{2}}} - 1 < \frac{k}{2 n ^{2}}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{2 n ^{2} + k} < S _{n} < \frac{1}{2 n ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} k$ 이다. 이 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{2 n ^{2}}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} k =$( 가 )이고, $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{1}{2 n ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} k - \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{2 n ^{2} + k} \right\} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k ^{2}}{2 n ^{2} ( 2 n ^{2} + k )} \\ \leq \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k ^{2}}{4 n ^{4}} = ( \text{나} ) \end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} =$( 다 )이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \frac{1}{2}$ $0$ $\displaystyle \frac{1}{2}$②$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$③$\displaystyle \frac{1}{4}$ $0$ $\displaystyle \frac{1}{2}$④$\displaystyle \frac{1}{4}$ $0$ $\displaystyle \frac{1}{4}$⑤$\displaystyle \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$