부등식으로 갇힌 함수의 극한값

$x ^{3} - x ^{2} + 3 x \leq f \left( x \right) \leq x ^{3} + x ^{2} + 3 x$ $x > 0$일 때 부등식의 각 변을 $x$로 나누면 $\displaystyle x ^{2} - x + 3 \leq \frac{f \left( x \right)}{x} \leq x ^{2} + x + 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \left( x ^{2} - x + 3 \right) = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \left( x ^{2} + x + 3 \right) = 3$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{f \left( x \right)}{x} = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $x < 0$일 때 부등식의 각 변을 $x$로 나누면 $\displaystyle x ^{2} + x + 3 \leq \frac{f \left( x \right)}{x} \leq x ^{2} - x + 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \left( x ^{2} + x + 3 \right) = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \left( x ^{2} - x + 3 \right) = 3$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{f \left( x \right)}{x} = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f \left( x \right)}{x} = 3$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3}}{x ^{2} \left\{ 4 x - f \left( x \right) \right\}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{{\left\{ f \left( x \right) \right.} ^{3}}{x ^{3}}}{\frac{x ^{2} \left\{ 4 x - f \left( x \right) \right\}}{x ^{3}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\left\{ \frac{f \left( x \right)}{x} \right\} ^{3}}{4 - \frac{f \left( x \right)}{x}}$ $\displaystyle = \frac{3 ^{3}}{4 - 3}$$= 27$