부등식 영역 넓이

[출제의도] 부등식의 영역의 넓이를 구한다. $x ^{2} + y ^{2} - 10 x - 6 y - 2 \leq 0$에서 $( x - 5 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} \leq 6 ^{2}$ 연립부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

원과 직선이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, 원의 중심을 $\mathrm{C}$, 원의 중심 $\mathrm{C}$에서 직선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라고 하면 선분 ${\mathrm{C} H}$의 길이는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = \frac{\left| 3 \times 5 - 4 \times 3 + 12 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{15}{5} = 3$ 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} A} = 6$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = 3$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{ACH} \mathit{=} \frac{\pi}{3}$ 따라서 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이는 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$인 부채꼴 $\mathrm{C} AB$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{C} AB$의 넓이를 뺀 값과 같다. $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times 6 ^{2} \times \frac{2}{3} \pi - \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 3$$\displaystyle = 12 \pi - 9 \sqrt{3}$