부등식 순서쌍 개수

[출제의도] 중복조합을 이용하여 문제를 해결한다. $c$가 $5$ 이하의 자연수이므로 $1 \leq b \leq 4$이다. (ⅰ) $b = 1$인 경우 $a \leq 2 \leq c \leq d$에서 $a$를 택하는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{C} _{1}$이고, $c$, $d$를 택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}}$이다. 그러므로 구하는 경우의 수는 ${} _{2} {\mathrm{C}} _{1} \times _{4} {\mathrm{H}} _{2}$$= _{2} {\mathrm{C}} _{1} \times _{5} {\mathrm{C}} _{2}$$= 2 \times 10$$= 20$ (ⅱ) $b = 2$인 경우 $a \leq 3 \leq c \leq d$에서 $a$를 택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$이고, $c$, $d$를 택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}}$이다. 그러므로 구하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{3} \mathrm{H} \mathit{_{2}}$$= _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{4} \mathrm{C} \mathit{_{2}}$$= 3 \times 6$$= 18$ (ⅲ) $b = 3$인 경우 $a \leq 4 \leq c \leq d$에서 $a$를 택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{1}$이고, $c$, $d$를 택하는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}}$이다. 그러므로 구하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{2} \mathrm{H} \mathit{_{2}}$$= _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{_{2}}$$= 4 \times 3$$= 12$ (ⅳ) $b = 4$인 경우 $a \leq 5 \leq c \leq d$에서 $a$를 택하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{C} _{1}$이고, $c$, $d$를 택하는 경우의 수는 $1$이다. 그러므로 구하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times 1 = 5$ (ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $20 + 18 + 12 + 5 = 55$