미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식 조건 수열 극한

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n}의 값은? [3점]

(가) 20−1n<an+bn<20+1n\displaystyle 20 - \frac{1}{n} < a _{n} + b _{n} < 20 + \frac{1}{n} (나) 10−1n<an−bn<10+1n\displaystyle 10 - \frac{1}{n} < a _{n} - b _{n} < 10 + \frac{1}{n}

①33②44③55④66⑤77

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③

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해설

lim⁡n→∞(an+bn)=20\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} + b _{n} ) = 20 , lim⁡n→∞(an−bn)=10\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} - b _{n} ) = 10 cn=an+bnc _{n} = a _{n} + b _{n} …① ∴lim⁡n→∞cn=20\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} c _{n} = 20 dn=an−bnd _{n} = a _{n} - b _{n} … ② ∴lim⁡n→∞dn=10\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} d _{n} = 10 ①- ②를 하면 cn−dn=2bnc _{n} - d _{n} = 2 b _{n} ∴lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞12(cn−dn)\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2} ( c _{n} - d _{n} )=12(20−10)\displaystyle = \frac{1}{2} ( 20 - 10 )=5= 5

태그

#수열의 극한#극한의 성질

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