부등식 정수해

[출제의도] 분수부등식 이해하기 $\left( x + 3 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 8 \right) ^{2} \leq 0$의 해는 $- 3 \leq x \leq 3$ 또는 $x = 8$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \frac{x - k}{x + 1} \leq 0$의 해는 $- 1 < x \leq k$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의하여 주어진 연립부등식의 해는 그림과 같다.

자연수 $k$의 값의 범위에 따라 정수 $x$의 개수는 다음과 같다. ⅰ) $1 \leq k < 3$일 때 $- 1 < x \leq k$이므로 $( k + 1 )$개 ⅱ) $3 \leq k < 8$일 때 $- 1 < x \leq 3$이므로 $4$개 ⅲ) $k \geq 8$일 때 $- 1 < x \leq 3$ 또는 $x = 8$이므로 $5$개 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 정수 $x$의 개수가 $4$가 되도록 하는 자연수 $k$는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ 따라서 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $25$