중학중학 미분류수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부채꼴과 피타고라스

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 88이고 중심각의 크기가 90∘90 \mathit{^\circ}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}에서 선분 OA\mathrm{OA} 위에 OP‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = 6이 되도록 점 P\mathrm{P}를 잡는다. 점 P\mathrm{P}를 지나고 선분 OA\mathrm{OA}에 수직인 직선이 호 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 선분 AQ\mathrm{AQ}의 길이는? [3점]

①27\displaystyle 2 \sqrt{7}②30\displaystyle \sqrt{30}③42\displaystyle 4 \sqrt{2}④34\displaystyle \sqrt{34}⑤66

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③

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해설

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 선분의 길이를 구한다.

그림과 같이 두 점 O\mathrm{O}와 Q\mathrm{Q}를 선분으로 연결하면 선분 OQ\mathrm{OQ}의 길이는 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}의 반지름의 길이와 같으므로 OQ‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{OQ} = 8} 선분 PQ\mathrm{PQ}는 선분 OA\mathrm{OA}와 수직이므로 두 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}와 삼각형 AQP\mathrm{AQP}는 직각삼각형이다. 한편 직각삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에서 피타고라스 정리에 의해 OQ‾2=OP‾2+PQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} ^{2} = \mathrm{\overline{OP}} ^{2} + \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} 82=62+PQ‾2\displaystyle \mathrm{8 ^{2} = 6 ^{2} + {\overline{PQ}} ^{2}} PQ‾2=82−62\displaystyle {\mathrm{{\overline{PQ}}} ^{2} = 8 ^{2} - 6 ^{2}} PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}=82−62\displaystyle = \sqrt{8 ^{2} - 6 ^{2}}=27\displaystyle = 2 \sqrt{7} 또 직각삼각형 AQP\mathrm{AQP}에서 피타고라스 정리에 의해 AQ‾2=AP‾2+PQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} = \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} AQ‾2=22+(27)2\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} = 2 ^{2} + \left( 2 \sqrt{7} \right) ^{2} 따라서 구하는 길이는 AQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}=4+28\displaystyle = \sqrt{4 + 28}=32\displaystyle = \sqrt{32}=42\displaystyle = 4 \sqrt{2}

태그

#피타고라스 정리#중학

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