부채꼴과 각의 크기

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

그림과 같이 변 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = {\overline{\mathrm{MC}}}$, $\mathrm{\angle} PMB = \mathrm{\angle} PMC = 90 \mathit{^\circ}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}}$은 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{PBM}$, $\mathrm{PCM}$은 서로 합동이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = {\overline{PC}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}}$와 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$는 부채꼴 $\mathrm{BCA}$의 반지름이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = {\overline{BC}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = {\overline{BC}} = {\overline{PC}}$이므로 삼각형 $\mathrm{PBC}$는 정삼각형이다. $\mathrm{\angle} CPB = \mathrm{\angle} BCP = 60 \mathit{^\circ}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\mathrm{\angle} PCD$$= \mathrm{\angle} BCD - \mathrm{\angle} BCP$$= 90 ^\circ - 60 ^\circ$$= 30 ^\circ$ 한편 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 정사각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{CD}}}$ 즉 삼각형 $\mathrm{CDP}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = {\overline{CD}}$인 이등변삼각형이다. 따라서 $\angle \mathrm{CPD}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 180 \mathit{^\circ} - 30 \mathit{^\circ} \right)$$= 75 \mathit{^\circ}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\mathrm{\angle} BPD$$= \mathrm{\angle} BPC + \mathrm{\angle} CPD$$= 60 \mathit{^\circ} + 75 \mathit{^\circ}$$= 135 \mathit{^\circ}$