중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 속 삼각형

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 선분 OA\mathrm{OA}를 지름으로 하는 반원의 호 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 직선 OP\mathrm{OP}가 호 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하고, 점 Q\mathrm{Q}에서 선분 OA\mathrm{OA}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. ∠QOA=30∘\mathrm{\angle} QOA = 30 ^\circ일 때, 삼각형 PHQ\mathrm{PHQ}의 넓이는 a3−b4\displaystyle \frac{a \sqrt{3} - b}{4}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다. 삼각형 OHQ{\mathrm{OHQ}}에서 OQ‾=2\displaystyle {\mathrm{\overline{OQ}} = 2} HQ‾OQ‾=sin⁡30∘\displaystyle {\frac{\mathrm{\overline{HQ}}}{\mathrm{\overline{OQ}}} = \sin 30 ^\circ}이므로 HQ‾\displaystyle {\mathrm{\overline{HQ}}}=OQ‾×sin⁡30∘\displaystyle {\mathrm{=} {\overline{OQ}} \times \sin 30 ^\circ}=2×12\displaystyle {\mathrm{=} 2 \times \frac{1}{2}}=1{= 1}

그림과 같이 선분 AP{\mathrm{AP}}를 그으면 각 OPA{\mathrm{OPA}}는 반원에 대한 원주각이므로 ∠OPA=90∘{\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ} 삼각형 OAP{\mathrm{OAP}}에서 OP‾OA‾=cos⁡30∘\displaystyle {\frac{\mathrm{\overline{OP}}}{\mathrm{\overline{OA}}} = \cos 30 ^\circ}이므로 OP‾\displaystyle {\mathrm{\overline{OP}}}=OA‾×cos⁡30∘\displaystyle {\mathrm{=} {\overline{OA}} \times \cos 30 ^\circ}=2×32\displaystyle {\mathrm{=} 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=3\displaystyle {= \sqrt{3}} PQ‾\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}}}=OQ‾−OP‾\displaystyle {\mathrm{=} {\overline{OQ}} - {\overline{OP}}}=2−3\displaystyle {= 2 - \sqrt{3}} 삼각형 PHQ{\mathrm{PHQ}}에서 ∠HQP=60∘{\mathrm{\angle} HQP = 60 ^\circ}이므로 △PHQ{\mathrm{\triangle} PHQ}=12×HQ‾×PQ‾×sin⁡60∘\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{HQ}} \times \mathrm{\overline{PQ}} \times \sin 60 ^\circ} =12×1×(2−3)×32\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 1 \times \left( 2 - \sqrt{3} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=23−34\displaystyle {= \frac{2 \sqrt{3} - 3}{4}} 따라서 a=2{a = 2}, b=3{b = 3}이므로 a+b{a + b}=2+3{= 2 + 3}=5{= 5}

태그

#삼각비#삼각형의 넓이

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