부분집합 선택 확률

[출제의도] 배수의 성질을 이용하여 확률을 구한다. 원소의 개수가 $4$인 부분집합의 개수는 ${} _{10} \mathrm{C} _{4} = 210$ $1$부터 $10$까지의 자연수 중에서 $3$으로 나눈 나머지가 $0$, $1$, $2$인 수의 집합을 각각 $A _{0}$, $A _{1}$, $A _{2}$라 하면 $A _{0} = \left\{ 3 , 6 , 9 \right\}$, $A _{1} = \left\{ 1 , 4 , 7 , 10 \right\}$, $A _{2} = \left\{ 2 , 5 , 8 \right\}$ 이다. 집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 $3$의 배수가 아니려면 집합 $X$는 세 집합 $A _{0}$, $A _{1}$, $A _{2}$ 중 두 집합에서 각각 $2$개의 원소를 택하여 이 네 수를 원소로 해야 한다. (ⅰ) $A _{0}$, $A _{1}$인 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2} \times _{4} \mathrm{C} _{2} = 18$ (ⅱ) $A _{0}$, $A _{2}$인 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2} \times _{3} \mathrm{C} _{2} = 9$ (ⅲ) $A _{1}$, $A _{2}$인 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2} \times _{3} \mathrm{C} _{2} = 18$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 $3$의 배수가 아닌 경우의 수는 $18 + 9 + 18 = 45$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{45}{210}$$\displaystyle = \frac{3}{14}$