미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분합 수열 수렴

문제

수열 {(−1)n−1}\left\{ ( - 1 ) ^{n - 1} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, <보기>의 수열 중 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. {Sn}\left\{ {S _{n}} \right\} ㄴ. {Snn}\displaystyle \left\{ \frac{S _{n}}{n} \right\} ㄷ. {S1+S2+S3+⋯+Snn}\displaystyle \left\{ \frac{S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots + S _{n}}{n} \right\}

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수열의 수렴, 발산을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. n=2mn = 2 m일 때 Sn=S2m=0S _{n} = S _{2 m} = 0 n=2m−1n = 2 m - 1일 때 Sn=S2m−1=1S _{n} = S _{2 m - 1} = 1 ㄱ. lim⁡m→∞S2m≠lim⁡m→∞S2m−1\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {S _{2 m}} \ne \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {S _{2 m - 1}}이므로 수열 {Sn}\{ S _{n} \}은 발산한다. ㄴ. lim⁡m→∞S2m2m=0\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{S _{2 m}}{2 m} = 0, lim⁡m→∞S2m−12m−1=0\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{S _{2 m - 1}}{2 m - 1} = 0이므로 lim⁡n→∞Snn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{n} = 0 (수렴) ㄷ. lim⁡m→∞S1+S2+⋯+S2m2m=lim⁡m→∞m2m=12\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{S _{1} + S _{2} + \cdots + S _{2m}}{2 m} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{m}{2 m} = \frac{1}{2}이고, lim⁡m→∞S1+S2+⋯+S2m−12m−1=lim⁡m→∞m2m−1=12\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{S _{1} + S _{2} + \cdots + S _{2m-1}}{2 m - 1} = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} \frac{m}{2 m - 1} = \frac{1}{2}이므로 lim⁡n→∞S1+S2+S3+⋯+Snn=12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots + S _{n}}{n} = \frac{1}{2} (수렴) 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

태그

#수열의극한#보기

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로