미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

비율 극한과 이웃항 비

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞5nan3n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 ^{n} a _{n}}{3 ^{n} + 1}이 00이 아닌 상수일 때, lim⁡n→∞anan+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}의 값은? [3점] ①23\displaystyle \frac{2}{3}②45\displaystyle \frac{4}{5}③53\displaystyle \frac{5}{3}④95\displaystyle \frac{9}{5}⑤83\displaystyle \frac{8}{3}

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③

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해설

lim⁡n→∞5nan3n+1=α(α≠0)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 ^{n} a _{n}}{3 ^{n} + 1} = \alpha ( \alpha \not = 0 )　5nan3n+1=bn\displaystyle \frac{5 ^{n} a _{n}}{3 ^{n} + 1} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=α(α≠0)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = \alpha ( \alpha \not = 0 )이다. an=3n+15nbn\displaystyle a _{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{5 ^{n}} b _{n}에서 lim⁡n→∞anan+1=lim⁡n→∞3n+15nbn3n+1+15n+1bn+1=lim⁡n→∞5n+1(3n+1)bn5n(3n+1+1)bn+1=53\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{3 ^{n} + 1}{5 ^{n}} b _{n}}{\frac{3 ^{n + 1} + 1}{5 ^{n + 1}} b _{n + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{5 ^{n + 1} ( 3 ^{n} + 1 ) b _{n}}{5 ^{n} ( 3 ^{n + 1} + 1 ) b _{n + 1}} = \frac{5}{3}

태그

#수열의 극한#극한의 성질

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